4 z 2: Решите уравнение z^2-4*z+5=0 (z в квадрате минус 4 умножить на z плюс 5 равно 0)

{2}$$
то
$$z_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$z_{2} = — \sqrt{v_{1}}$$
$$z_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$z_{4} = — \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$z_{1} = $$

     _______________                       
    /           ___                        
   /    1   I*\/ 3          _______________
2 /   - - + -------        /           ___ 
\/      2      2          /    1   I*\/ 3  
-------------------- =   /   - - + ------- 
         1             \/      2      2

$$z_{2} = $$

      _______________                         
     /           ___                          
    /    1   I*\/ 3            _______________
-2 /   - - + -------          /           ___ 
 \/      2      2            /    1   I*\/ 3  
---------------------- = -  /   - - + ------- 
          1               \/      2      2

$$z_{3} = $$

     _______________                       
    /           ___                        
   /    1   I*\/ 3          _______________
2 /   - - - -------        /           ___ 
\/      2      2          /    1   I*\/ 3  
-------------------- =   /   - - - ------- 
         1             \/      2      2

$$z_{4} = $$

      _______________                         
     /           ___                          
    /    1   I*\/ 3            _______________
-2 /   - - - -------          /           ___ 
 \/      2      2            /    1   I*\/ 3  
---------------------- = -  /   - - - ------- 
          1               \/      2      2

Содержание

4 спиральные режущие грани [Z2+2]

Используется для реза, копирования, раскроя и фрезерования твердой древесины, ДСП, МДФ, OSB, пластика и ламината.
Возможна быстрая подача хорошо закрепленной заготовки.
Можно использовать на обрабатывающих центрах, копировальных станках, ручных фрезерах с зажимными патронами и адаптерами.
Идеальные нижний и верхний края обработанной заготовки;
Восходящий выброс стружки.

Монолитные твердосплавные фрезы со спиральными (винтовыми) режущими кромками

Z2+2 двухнаправленный выброс стружки

D	I	S	d	Z	CODE	PRICE
DIAMETER	CUT	L. TOT	SHANK	Z	ROTATION RH
5	17	60	5	2+2	402U05111	€ 49,22
6	26	60	6	2+2	402U06111	€ 62,06
8	22	70	8	2+2	402U08111	€ 77,04
8	32	80	8	2+2	402U08211	€ 84,53
10	32	80	10	2+2	402U10111	€ 99,51
12	32	80	12	2+2	402U12111	€ 110,21
12	42	100	12	2+2	402U12211	€ 130,54
14	42	100	14	2+2	402U14111	€ 188,32
16	42	100	16	2+2	402U16111	€ 216,14
16	52	110	16	2+2	402U16211	€ 235,40
20	52	110	20	2+2	402U20111	€ 342,40
20	72	130	20	2+2	402U20211	€ 411,95

На этой странице представлены 4 спиральные режущие грани [Z2+2], узнать о наличие, цене и возможности поставки этой продукции в ваш регион вы можетеу нашего менеджера.

Постоянное наличие концевых инструментов на нашем складе, гарантирует бесперебойные поставки инструмента в адрес заказчика.

РАДИОСИСТЕМА SHURE GLXD24E/B58 Z2 2.4 GHz

GLXD24E/B58 цифровая вокальная радиосистема с GLXD4 приемником, передатчиком GLX2 с BETA58 микрофонной капсулой. Система построена на технологии LINKFREQ и имеет заряжаемую батарейку литий-ион.

Серия GLXD разрабатывалась с нуля, чтобы стать как можно простой в использовании. На самом деле так и получилось, Вам даже не нужно настраивать частоту или синхронизировать передатчики. Все что Вам нужно это просто включить приемник и передатчик, а все остальное система сделает сама. Это достигнуто благодаря революционной технологии LINKFREQ (автоматическое управление частотой). Как только Вы включаете систему, приемник сразу же начинает искать чистую частоту, настраивается на нее и настраивает передатчик. Что может быть проще. Другими преимуществами LINKFREQ технологии является способность автоматически избегать помехи. Система работает в спектре 2.4ГГц и всегда ищет чистую частоту. Если на частоте появляются помехи, GLXD24E/B58 автоматически переключает приемник и передатчик на новую, чистую частоту без прерывания аудио. Это так естественно и быстро, вы даже и не знаете, что происходит.

Унаследовав от ULXD серии умную заряжаемую систему батареи литий-ион, GLXD24E/B58 дает Вам многочисленные варианты зарядки. На одной зарядке система может непрерывно работать в течение 16 часов. Когда нужно зарядить систему, Вы можете просто достать батарею из передатчика и вставить ее в порт для зарядки, расположенном на передней панели GLXD4 приемника. Никаких отдельных зарядных устройств не требуется. Но что если оказалось батарейку нужно зарядить по дороге на концерт? Тоже нет проблем. В комплект входит USB кабель, который подключается к любому стандартному USB порту на компьютере. А приемник всегда подскажет Вам, когда на батарее низкий уровень заряда и нужна зарядка, отображая на дисплее, сколько времени осталось для работы. Больше не будет сюрпризов на концерте.

Компания Shure широко известная компания по всему миру, которая славится своим качеством сборки и надежностью продуктов. GLXD24E/B58 не исключение. Приемник и передатчик изготовлены из толстого прочного пластика и гарантируют долгие годы надежной работы.

Характеристики

Совместимость: работает с 4 совместимыми системами в обычной обстановке и до 8 в идеальных условиях

Рабочий диапазон: в помещении до 30 м и до 60 м в идеальных условиях; вне помещения до 20 м и до 50 м в идеальных условиях

Аудио частотный диапазон: 20 Гц – 20 кГц

Динамический диапазон: 120 дБ

RF чувствительность: -88dBm

Искажения: 0,2%

RF выходная мощность: 10mW E. I.R.P. max

Работа аккумулятора: 16 часов

Приемник GLXD4

GLXD4 — одноканальный беспроводной приемник с революционной технологией LINKFREQ и способностью заряжать аккумулятор. Встроенный порт для заряда аккумулятора заряжает литий-ион батарейку во время работы системы. Этот приемник позволяет работать с 4 совместимыми системами в обычной обстановке и до 8 максимум при идеальных условиях.

Высокого разрешения LCD экран

Отображение в реальном времени статуса заряда батареи передатчика в часах и минутах (+/-15 минут)

Дистанционное управление громкостью передатчика

Двухцветный светодиодный индикатор заряда: зеленый – заряжается, мигающий зеленый – 90% заряда, красный – заряжено

Выходы: XLR и 1/4″

Легкая прочная конструкция

Характеристики

Размеры: 40 х 183 х 117 мм

Вес: 286 г

Корпус: литой пластик

Питание: 14 — 18 V DC, 550 mA

Подавление ложных сигналов: более 35дБ

Диапазон усиления: -20 – 40 дБ с шагом 1 дБ

Сопротивление: 100 Ом

Максимальный выходной уровень: XLR — 0dBV, 1/4″ — +8,5dBV

Максимальный входной уровень: -20 dBm

Ручной передатчик GLX2/BETA58

Передатчик GLX2/BETA58 имеет встроенный картридж BETA58 и передает беспроводной поток аудио с цифровой четкостью и непревзойденной надежностью. Работает с GLX-D цифровыми беспроводными системами. Непрерывная работа в течении 16 часов, благодаря Shure литий-ион заряжаемому аккумулятору. Автоматическая связь с GLX-D приемником для беспрерывной смены частоты.

Характеристики

Размеры: 51 х 252 х 37 мм

Вес: 221 г

Корпус: литой пластик

Питание: 3,7В

RF выходная мощность: 10mW E.I.R.P. max

Максимальный входной уровень: 145 дБ SPL

Вычисление тройных интегралов: теория и примеры

Тройные интегралы – это аналог двойного интеграла
для функции трёх переменных, заданной как f(M) = f(x, y, z).

Записывается тройной интеграл так:

Здесь V – пространственная (трёхмерная) фигура,
ограниченная плоскостями, выражения которых (равенства) даны в задании вычисления тройного интеграла.
V называют также замкнутой ограниченной областью трёхмерного пространства.

Вычислить тройной интеграл — значит найти число, равное объёму тела
V или, что то же самое — области V.

Практически каждый может понять смысл вычисления тройного интеграла «на своей шкуре».
Точнее — «под шкурой», а ещё точнее — по своим органам дыхания — лёгким. Вне зависимости от того, знаете
ли вы об этом или не знаете, в лёгких человека свыше 700 миллионов альвеол — пузырьковых образований,
оплетённых сетью капилляров. Через стенки альвеол происходит газообмен. Поэтому можно рассуждать так:
объём газа в лёкгих, можно представить в виде некоторой компактной области. А состоит этот объём из
маленьких объёмов, сосредоточенных в альвеолах. Ключевую роль в этом сравнении играет именно огромное
количество альвеол в лёгких: как мы увидим в следующем абзаце, через такое «огромное количество малостей»
математически как раз и формулируется понятие тройного интеграла.

Почему именно тройной интеграл служит для нахождения объёма тела V?
Пусть область V разбита на n произвольных областей Δvi,
причём под этим обозначением подразумевается не только каждая маленькая область, но и её объём. В каждой такой
маленькой области выбрана произвольная точка Mi, а
f(Mi) — значение функции
f(M) в этой точке. Теперь будем максимально увеличивать число таких
маленьких областей, а наибольший диаметр Δvi —
наоборот, уменьшать. Можем составить интегральную сумму вида

Если функция f(M) = f(x, y, z)
непрерывна, то будет существовать предел интегральных сумм вида, указанного выше. Этот предел и называется
тройным интегралом.

В этом случае функция f(M) = f(x, y, z)
называется интегрируемой в области V; V —
областью интегрирования; x, y, z — переменными интегрирования,
dv (или dx dy dz) —
элементом объёма.

Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов
меньшей кратности.

Рассмотрим трёхмерную область V. Снизу и сверху (то есть по высоте)
эта область ограничена поверхностями z = z1(x, y) и
z = z2(x, y).
С боковых сторон (то есть по ширине) область ограничена поверхностями y = y1(x) и
y = y2(x). И, наконец,
по глубине (если Вы смотрите на область в направлении оси Ox) — поверхностями
x = a и x = b

Чтобы применять переход к интегралам меньшей кратности, требуется, чтобы трёхмерная область
V была правильной. Она правильна тогда, когда прямая, параллельная оси
Oz, пересекает границу области V не более чем в двух точках. Правильными
трёхмерными областями являются, например, прямоугольный параллелепипед, эллипсоид, тетраэдр. На рисунке ниже —
прямоугольный параллелепипед, который встретится нам в первом примере на решение задач.

Чтобы наглядно представить отличие правильности от
неправильности, добавим, что поверхности области по высоте у правильной области не должны быть вогнуты вовнутрь. На
рисунке ниже — пример неправильной области V — однополостный гиперболоид,
поверхность которого прямая, параллельная оси Oz (красного цвета), пересекает более чем в двух точках.

Мы будем рассматривать только правильные области.

Итак, область V — правильная. Тогда для любой функции
f(x, y, z), непрерывной в области
V, справедлива формула

Эта формула позволяет свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению
внутреннего определённого интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и
внешнего двойного интеграла по двумерной области D.

Переходя от двойного интеграла к повторному,
получаем следующую формулу для вычисления тройного интеграла:

Таким образом, для вычисления тройного интеграла требуется последовательно вычислить три
определённых интеграла.

Вычисляются эти интегралы от самого внутреннего (по переменной z) к самому
внешнему (по переменной x). Для удобства восприятия последовательности вычислений три
«вложенных» интеграла можно записать так:

Из этой записи уже однозначно видно, что:

сначала нужно интегрировать функцию f(x, y, z)
по переменной z, а в качестве пределов интегрирования взять уравнения z = z1(x, y) и
z = z2(x, y)
поверхностей ограничивающих область V снизу и сверху;

получившийся на предыдущем шаге результат интегрировать по переменной y, а в качестве пределов
интегрирования взять уравнения y = y1(x) и
y = y2(x) поверхностей,
ограничивающих область V с боковых сторон;

получившийся на предыдущем шаге результат интегрировать по переменной x, а в качестве пределов
интегрирования взять уравнения x = a и x = b
поверхностей, ограничивающих область V по глубине.

Пример 1. Пусть от тройного интеграла можно перейти к повторному интегралу

—

последовательности трёх определённых интегралов. Вычислить этот повторный интеграл.

Решение. Вычисление повторного интеграла всегда начинается с последнего интеграла:

Вычислим второй интеграл — по переменной y:

Теперь вычисляем самый внешний интеграл — по переменной x:

Ответ: данный повторный интеграл и соответствующий ему тройной интеграл равен 10.

Пример 2. Вычислить тройной интеграл

где V — параллелепипед, ограниченный плоскостями
x = − 1, x = + 1,
y = 0, y = 1,
z = 0, z = 2.

Решение. Пределы интегрирования для всех трёх определённых интегралов однозначно заданы
уравнениями поверхностей, ограничивающих параллелепипед. Поэтому сразу сводим данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:

Вычисляем самый внутренний интеграл — по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем:

Вычисляем интеграл «в серединке» — по переменной y. Получаем;

Теперь вычисляем самый внешний интеграл — по переменной x:

Ответ: данный тройной интеграл равен -2.

Пример 3. Вычислить тройной интеграл

где V — пирамида, ограниченная плоскостью
x + y + z = 1
и координатными плоскостями
x = 0, y = 0,
z = 0. Область V
проецируется на плоскость xOy в треугольник D, как показано
на рисунке ниже.

Решение.
Расставим сначала пределы интегрирования. Для интеграла по переменной z нижний предел
интегрирования задан однозначно: z = 0. Чтобы получить верхний
предел, выразим z из x + y + z = 1.
Получаем 1 − x − y. Для интеграла
по переменной y нижний предел интегрирования задан однозначно: y = 0.
Для получения верхнего предела выразим y из x + y + z = 1,
считая при этом, что z = 0 (так как линия расположена в плоскости xOy).
Получаем: 1 − x.

Сводим данный тройной интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:

Вычисляем самый внутренний интеграл — по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем:

Вычисляем средний интеграл — по переменной y. Получаем:

Наконец, вычисляем самый внешний интеграл — по переменной x:

Ответ: данный тройной интеграл равен 1/8.

Вычислить тройной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Бывает, что студенты, у которых не вызывает особых трудностей непосредственное вычисление
интегралов, не могут освоиться в расстановке пределов интегрирования при переходе от тройного интеграла к
последовательности трёх определённых интегралов. В этом деле действительно требуется некоторая натренированность.
В первом примере область интегрирования V представляла собой параллелепипед,
с которым всё понятно: со всех сторон его ограничивают плоскости, а значит, пределы интегрирования однозначно
заданы уравнениями плоскостей. Во втором примере — пирамида: здесь уже требовалось чуть больше подумать и выразить
один из пределов из уравнения. А если область V ограничивают не плоские
поверхности? Нужно, конечно, определённым образом осмотреть область V.

Начнём с примера «пострашнее», чтобы почувствовать «обстановку, приближенную к боевой».

Пример 5. Расставить пределы интегрирования при переходе от тройного интеграла,
в котором область V — эллипсоид

Решение. Пусть центр эллипсоида — начало координат, как показано на рисунке выше. Посмотрим на эллипсоид снизу.
Снизу его ограничивает поверхность, являющаяся той части поверхности эллипсоида, которая расположена
ниже плоскости xOy. Следовательно, нужно выразить из уравнения эллипсоида z и полученное выражение
со знаком минус будет нижним пределом интегрирования по переменной z:

Теперь посмотрим на эллипсоид сверху.
Здесь его ограничивает поверхность, являющаяся той части поверхности эллипсоида, которая расположена
выше оси xOy. Следовательно, нужно выразить из уравнения эллипсоида z и полученное выражение
будет верхним пределом интегрирования по переменной z:

Проекцией эллипсоида на плоскость xOy является эллипсоид. Его уравнение:

Чтобы получить нижний предел интегрирования по переменной y, нужно выразить
y из уравнения эллипсоида и взять полученное выражение со знаком минус:

Для верхнего предела интегрирования по переменной y то же выражение
со знаком плюс:

Что касается интегрирования по переменной x, то область V
ограничена по глубине плоскостями. Следовательно, пределы интегрирования по переменной x можно
представить как координаты задней и передней границ области. В случае эллипсоида ими будут взятые с отрицательным
и положительным знаками величины длин полуоси
a: x1 = − a и
x2 = a.

Таким образом, последовательность интегралов для вычисления объёма эллипсоида следующая:

где «игрек первое», «игрек второе», «зет первое» и «зет второе» — полученные выше выражения.
Если у Вас есть желание и отвага вычислить этот интеграл и, таким образом, объём эллипсоида, то вот ответ:
4πabc/3.

Следующие примеры — не такие страшные, как только что рассмотренный. При этом они предполагают
не только расстановку пределов интегрирования, но и вычисление самого тройного интеграла. Проверьте,
чему вы научились, следя за решением «страшного» примера. Думать при расстановке пределов всё равно
придётся.

Пример 6. Вычислить тройной интеграл

если область интегрирования ограничена плоскостями
x + y = 1,
x + 2y = 4,
y = 0,
y = 1,
z = 1,
z = 5.

Решение. «Курортный» пример по сравнению с примером 5, так как пределы интегрирования
по «игрек» и «зет» определены однозначно. Но придётся разобраться с пределами интегрирования по «иксу».
Проекцией области интегрирования на плоскость xOy является трапеция ABCD.

В этом примере выгоднее проецировать трапецию на ось Oy, иначе, чтобы вычислить тройной
интеграл, на придётся разделить фигуру на три части. В примере 4 мы начинали осмотр области интегрирования
снизу, и это обычный порядок. Но в этом примере мы начинаем осмотр сбоку или, если так проще, положили
фигуру набок и считаем, что смотрим на неё снизу. Можем найти пределы интегирования по «иксу»
чисто алгебраически. Для этого выразим «икс» из первого и второго уравнений, данных в условии примера.
Из первого уравения получаем нижний предел 1 − y, из
второго — верхний 4 − 2y. Сведём данный тройной
интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:

Внимание! В этом примере самый внешний интеграл — не по переменной «икс», а по
переменной «игрек», а «средний» — по переменной «икс»! Здесь мы применили смену порядка интегрирования,
с которой ознакомились при изучении двойного интеграла. Это связано с тем, что, как уже говорилось,
мы начали осмотр области интегрирования не снизу, а сбоку, то есть спроецировали её не на ось
Ox, на на ось Oy.

Вычисляем самый внутренний интеграл — по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем:

Вычисляем средний интеграл — по переменной x. Получаем:

Наконец, вычисляем самый внешний интеграл — по переменной y:

Ответ: данный тройной интеграл равен 43.

Пример 7. Вычислить тройной интеграл

если область интегрирования ограничена поверхностями
x = 0,
y = 0,
z = 2,
x + y + z = 4.

Решение. Область V (пирамида MNRP) является
правильной. Проекцией области V на плоскость xOy
является треугольник AOB.

Нижние пределы интегрирования по всем переменным заданы в условии примера.
Найдём верхний предел интегирования по «иксу». Для этого выразим «икс» из четвёртого уравнения,
считая «игрек» равным нулю, а «зет» равным двум. Получаем x = 2.
Найдём верхний предел интегирования по «игреку». Для этого выразим «игрек» из того же четвёртого
уравнения, считая «зет» равным двум, а «икс» — переменной величиной. Получаем
y = 2 − x. И, наконец,
найдём верхний предел интегрирования по переменной «зет». Для этого выразим «зет» из того же
четвёртого уравнения, считая «игрек» и «зет» переменными величинами. Получаем
z = 4 − x − y.

Сведём данный тройной
интеграл к последовательности трёх определённых интегралов:

Вычисляем самый внутренний интеграл — по переменной z, считая икс и игрек константами. Получаем:

Вычисляем средний интеграл — по переменной y. Получаем:

Вычисляем самый внешний интеграл — по переменной x и окончательно находим
данный тройной интеграл:

Ответ: данный тройной интеграл равен 2.

Если проекцией области интегрирования на какую-либо из координатных плоскостей
является круг или часть круга, то тройной интеграл проще вычислисть, перейдя к цилиндрическим координатам.
Цилиндрическая система координат является обобщением полярной системы координат
на пространство. В системе цилиндрических координат точка M характеризуется тремя величинами
(r, φ, z), где r — расстояние от начала координат до проекции N
точки M на плоскость xOy, φ — угол между вектором ON и положительным
направлением оси Ox, z — аппликата точки M (рисунок ниже).

Прямоугольные координаты x, y, z с цилиндрическими
координатами r, φ, z связывают формулы

x = rcosφ,

y = rsinφ,

z = z.

Для того, чтобы в тройном интеграле перейти к цилиндрическим координатам, нужно
подынтегральную функцию выразить в виде функции переменных r, φ, z:

То есть переход от прямогольных координат к цилиндрическим осуществляется следующим образом:

Тройной интеграл в цилиндрических координатах вычисляется так же как и в декартовых
прямоугольных координатах, путём преобразования в последовательность трёх определённых интегралов:

Если область интегрирования в тройном интеграле представляет собой шар или часть шара,
то проще вычислить тройной интеграл в сферических координатах. В сферических координатах точку M
характеризуют три величины (ρ, φ, θ), где ρ — расстояние от точки
M до начала координат 0, φ — угол между вектором ON и положительным
направлением оси Ox (N — проекция точки M на плоскость xOy),
θ — угол между вектором OM и положительным направлением оси Oz.

Сферические координаты связаны с прямоугольными декартовыми координатами соотношениями

x = ρsinθcosφ,

y = ρsinθsinφ,

z = ρcosθ.

Элемент объёма в сферических координатах выражается следующим образом:

Таким образом, переход от прямоугольных декартовых координат в тройном интеграле к
сферическим координатам осуществляется по формуле:

Чтобы вычислить тройной интеграл в сферических координатах, нужно поступить так же,
как при вычислениях в прямоугольных декартовых и цилиндрических координатах — перейти к повторным
интегралам (последовательности трёх определённых интегралов):

Пример 9. Вычислить тройной интеграл

переходом к сферическим координатам, где V —
область, ограниченная неравенствами и
.

Решение. Снизу область интегрирования ограничена конической поверхностью
, а сверху — сферой
. Так как область
интегирования представляет собой часть шара, перейдём к сферическим координатам. Перепишем подынтегральную
функцию:

Учитывая, что ,
получаем

Расставим пределы интегрирования и перепишем последний полученный интеграл в виде
трёх повторных интегралов. По рисунку видно, что
,
,
. Поэтому

Итак, тройной интеграл вычислен. Так как все три интеграла — независисмые друг от друга,
мы смогли интегрировать каждый отдельно и результаты перемножить.

Вычисление объёма тела. Объём области V равен
тройному интегралу по этой области, если подынтегральная функция равна 1:

Вычисление массы неоднородного тела. Массу неоднородного тела с плотностью
ρ = ρ(x, y, z)
можно вычислить по формуле:

Статические моменты материального тела. Статические моменты относительно плоскостей
xOy, xOz, yOz
материального тела с плотностью ρ = ρ(x, y, z)
можно вычислить по формулам:

Моменты инерции материального тела. Моменты инерции относительно плоскостей
xOy, xOz, yOz
материального тела с плотностью ρ = ρ(x, y, z)
можно вычислить по формулам:

Моменты инерции относительно осей
Ox, Oy, Oz
определяются по формулам:

Центр тяжести материального тела. Координаты центра массы
C(xc, yc, zc)
материального тела с плотностью ρ = ρ(x, y, z)
определяются по формулам:

Кратные и криволинейные интегралы

Поделиться с друзьями

var — JavaScript | MDN

Оператор var объявляет переменную, инициализируя её, при необходимости.

The source for this interactive example is stored in a GitHub repository. If you’d like to contribute to the interactive examples project, please clone https://github.com/mdn/interactive-examples and send us a pull request.

var varname1 [= value1 [, varname2 [, varname3 ... [, varnameN]]]];

varnameN: Имя переменной. Может использоваться любой допустимый идентификатор.

valueN: Значение переменной. Любое допустимое выражение. По умолчанию значение undefined.

Объявление переменной всегда обрабатывается до выполнения кода, где бы она ни находилась. Область видимости переменной, объявленной через var, это её текущий контекст выполнения. Который может ограничиваться функцией или быть глобальным, для переменных, объявленных за пределами функции.

Присвоение значения необъявленной переменной подразумевает, что она будет создана как глобальная переменная (переменная становится свойством глобального объекта) после выполнения присваивания значения. Различия между объявленной и необъявленной переменными следующие:

1. Объявленные переменные ограничены контекстом выполнения, в котором они были объявлены. Необъявленные переменные всегда глобальны.

function x() {
  y = 1; 
  var z = 2;
}

x();

console.log(y); 
console.log(z);

2. Объявленные переменные инициализируются до выполнения любого кода. Необъявленные переменные не существуют до тех пор, пока к ним не выполнено присваивание.

console.log(a);    
console.log('still going...');

var a;
console.log(a);                
console.log('still going...');

3. Объявленные переменные, независимо от контекста выполнения, являются ненастраиваемыми свойствами. Необъявленные переменные это настраиваемые свойства (т.е. их можно удалять).

var a = 1;
b = 2;

delete this.a; 
delete this.b;

console.log(a, b);

Из-за перечисленных различий, использование необъявленных переменных может привести к непредсказуемым последствиям. Рекомендовано всегда объявлять переменные, вне зависимости, находятся они внутри функции или в глобальном контексте. Присваивание значения необъявленной переменной в строгом режиме ECMAScript 5 возбуждает ошибку.

Поднятие переменных

Объявление переменных (как и любые другие объявления) обрабатываются до выполнения кода. Где бы не находилось объявление, это равнозначно тому, что переменную объявили в самом начале кода. Это значит, что переменная становится доступной до того, как она объявлена. Такое поведение называется «поднятием» (в некоторых источниках «всплытием»).

bla = 2
var bla;




var bla;
bla = 2;

Поэтому объявление переменных рекомендовано выносить в начало их области видимости (в начало глобального кода или в начало функции). Это даёт понять какие переменные принадлежат функции (т.е. являются локальными), а какие обрабатываются в цепи областей видимости (т.е. являются глобальными).

Важно отметить, что подъем будет влиять на объявление переменной, но не на инициализацию её значения. Значение присваивается при выполнении оператора присваивания:

function do_something() {
  console.log(bar); 
  var bar = 111;
  console.log(bar); 
}



function do_something() {
  var bar;
  console.log(bar); 
  bar = 111;
  console.log(bar); 
}

Объявление и инициализация двух переменных

Присвоение двум переменным одного строкового значения

var a = "A";
var b = a;



var a, b = a = "A";

Следите за порядком присвоения значений переменным

var x = y, y = 'A';
console. log(x + y);

В примере, x и y объявлены до выполнение кода, присвоение выполняется позже. Когда происходит присваивание «x = y«, y уже существует со значением ‘undefined‘, так что ошибка ReferenceError не генерируется. И переменной x присваивается неопределённое значение. Потом переменной y присваивается значение ‘A’. Получается, что после выполнения первой строки кода x === undefined && y === 'A', отсюда и результат.

Инициализация нескольких переменных

var x = 0;

function f(){
  var x = y = 1; 
}
f();

console.log(x, y);

Такой же пример, но в строгом режиме:

'use strict';

var x = 0;
function f() {
  var x = y = 1; 
}
f();

console.log(x, y);

Неявные глобальные переменные и внешняя область видимости

Переменные могут ссылаться на переменные внешней области видимости функции, и это может выглядеть неявно:

var x = 0;  

console.log(typeof z); 

function a() { 
  var y = 2;   

  console.log(x, y);   

  function b() {       
    x = 3;  
    y = 4;  
    z = 5;  
  }         

  b();     
  console.log(x, y, z);  
}

a();                   
console.log(x, z);     
console.log(typeof y);

BCD tables only load in the browser

2-2 = 0 Tiger Algebra Solver

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

1.1 Факторинг z ⁴ -z ²-2

Первый член is, z ⁴ его коэффициент равен 1.
Средний член, -z ², его коэффициент равен -1.
Последний член, «константа», равен -2

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -2 = -2

Шаг-2: Найдите два множителя -2, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, который равен -1.

-2

-1

Вот и все

Шаг 3: Перепишите полиномиальное разбиение среднего члена, используя два фактора, найденные в шаг 2 выше, -2 и 1
z ⁴ — 2z ² + 1z ² — 2

Шаг 4: сложите первые 2 члена, извлекая одинаковые множители:
z ² • ( z ² -2)
Сложите последние 2 члена, вытащив общие множители:
1 • (z ² -2)
Шаг 5: сложите четыре члена шага 4:
(z ² +1) • (z ² -2)
Какая желаемая факторизация.

Калькулятор полиномиальных корней:

1.2 Найдите корни (нули): F (z) = z ² +1
Калькулятор полиномиальных корней — это набор методов, направленных на поиск значений z, для которых F (z) = 0

Тест рациональных корней является одним из вышеупомянутые инструменты. Он мог бы найти только рациональные корни, то есть числа z, которые можно выразить как частное двух целых чисел

Теорема рационального корня утверждает, что если полином равен нулю для рационального числа P / Q, то P является множителем конечной константы и Q является множителем ведущего коэффициента

В этом случае ведущий коэффициент равен 1, а конечная константа — 1.

Фактор (ы):

ведущего коэффициента: 1
конечной постоянной: 1

Давайте проверим ….

	P		Q		P / Q		F (P / Q)		Делитель
	-1		1		-1,00		2,00
	1		1		1.00		2,00

Калькулятор полиномиальных корней не обнаружил рациональных корней

Попытка разложить на множители как разность квадратов:

1.3 Факторинг: z ²-2

Теория: A разность двух полных квадратов, A ² — B ² можно разложить на (A + B) • (AB)

Доказательство: (A + B) • (AB) =
A ² — AB + BA — B ² =
A ² — AB + AB — B ² =
A ² — B ²

Примечание: AB = BA — свойство коммутативности умножения.

Примечание: — AB + AB равно нулю и поэтому исключается из выражения.

Проверить: 2 не квадрат !!

Решение: Биномиальное число не может быть разложено как разность двух полных квадратов.

Уравнение в конце шага 1:

 (z ² + 1) • (z ²-2) = 0

Шаг 2:

Теория — Корни продукта:

2.1 Произведение нескольких терминов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

Любое решение term = 0 также решает product = 0.

Решение уравнения с одной переменной:

2.2 Решите: z ² +1 = 0

Вычтите 1 из обеих частей уравнения:
z ² = -1

Когда две вещи равны, их квадратные корни равны.Извлекая квадратный корень из двух частей уравнения, мы получаем:
z = ± √ -1

В математике i называется мнимой единицей. Это удовлетворяет i ² = -1. Оба i и -i являются квадратными корнями из -1
Уравнение не имеет реальных решений. У него есть 2 воображаемых или сложных решения.

z = 0,0000 + 1,0000 i
z = 0,0000 — 1,0000 i

Решение уравнения с одной переменной:

2.3 Решите: z ² -2 = 0

Добавьте 2 к обеим частям уравнения:
z ² = 2

Когда две вещи равны, их квадратные корни равны. Извлекая квадратный корень из двух частей уравнения, мы получаем:
z = ± √ 2

Уравнение имеет два действительных решения
Эти решения следующие: z = ± √2 = ± 1,4142

Приложение: Решение квадратного уравнения напрямую

 Решение z ⁴ -z ² -2 = 0 напрямую

Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член.Давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу

Решение уравнения с одной переменной:

Уравнения, которые сводятся к квадратичным:

3.1 Решите z ⁴ -z ² -2 = 0

Это уравнение сводится к квадратичному. Это означает, что, используя новую переменную, мы можем переписать это уравнение в виде квадратного уравнения Используя y, так что y = z ² преобразует уравнение в:
y ² -y-2 = 0

Решение этой Новое уравнение, используя квадратную формулу, мы получаем два действительных решения:
2.0000 или -1,0000

Теперь, когда мы знаем значение (а) y, мы можем вычислить z, так как z равно √ y

Выполняя именно это, мы обнаруживаем, что решения
z ⁴ -z ² -2 = 0
либо:
z = √ 2.000 = 1.41421, либо:
z = √ 2.000 = -1.41421, либо:
z = √-1.000 = 0.0 + 1.00000 i, или:
z = √-1.000 = 0,0 — 1.00000 i

Найдено четыре решения:

z = ± √2 = ± 1,4142
z = 0.0000 — 1.0000 i
z = 0.0000 + 1.0000 i

Wolfram | Alpha Примеры: Алгебра

Другие примеры

Решение уравнения

Решите уравнения с одной или несколькими переменными как символьно, так и численно.

Решите полиномиальное уравнение:

Решите систему линейных уравнений:

Решите уравнение с параметрами:

Другие примеры

Полиномы

Решайте, строите и находите альтернативные формы полиномиальных выражений от одной или нескольких переменных.

Вычислить свойства многочлена от нескольких переменных:

Другие примеры

Рациональные функции

Вычислить разрывы и другие свойства рациональных функций.

Вычислить свойства рациональной функции:

Вычислить частичное разложение дроби:

Другие примеры

Упрощение

Упростите алгебраические функции и выражения.

Другие примеры

Матрицы

Находите свойства и выполняйте вычисления с матрицами.

Выполните базовую арифметику с матрицами:

Вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы:

Другие примеры

Кватернионы

Выполните вычисления в кватернионной системе счисления.

Получите информацию о кватернионе:

Проведите расчеты с кватернионами:

Другие примеры

Конечные группы

Откройте для себя свойства групп, содержащих конечное число элементов.

Получите информацию о конечной группе:

Спросите о собственности группы:

Сделайте алгебру с перестановками:

Другие примеры

Конечные поля

Откройте для себя свойства полей, содержащих конечное число элементов.

Вычислить свойства конечного поля:

Вычислить конкретное свойство:

Другие примеры

Домен и диапазон

Найдите область и диапазон математических функций.

Вычислить область определения функции:

Вычислить диапазон функции:

Другие примеры

Решение проблем вариаций суставов

Решение проблем вариаций суставов
Вот шаги, необходимые для решения проблем вариации суставов:

Шаг 1 :	Напишите правильное уравнение. Совместные вариационные задачи решаются с помощью уравнения y = kxz. При работе с текстовыми задачами вам следует подумать об использовании переменных, отличных от x, y и z, вы должны использовать переменные, которые имеют отношение к решаемой проблеме. Также внимательно прочтите задачу, чтобы определить, есть ли какие-либо другие изменения в уравнении вариации соединения, такие как квадраты, кубы или квадратные корни.
Шаг 2 :	Используйте информацию, приведенную в задаче, чтобы найти значение k, называемое постоянной вариации или константой пропорциональности.
Шаг 3 :	Перепишите уравнение из шага 1, подставив значение k, найденное на шаге 2.
Шаг 4 :	Используйте уравнение, найденное на шаге 3, и оставшуюся информацию, приведенную в задаче, чтобы ответить на заданный вопрос. Решая задачи со словами, не забудьте включить единицы в свой окончательный ответ.

Пример 1 — Если y изменяется вместе как x и z, и y = 12, когда x = 9 и z = 3, найдите z, когда y = 6 и x = 15.

Шаг 1 : Напишите правильное уравнение. Совместные вариационные задачи решаются с помощью уравнения y = kxz.
Шаг 2 : Используйте информацию, указанную в задаче, чтобы найти значение k. В этом случае вам нужно найти k, когда y = 12, x = 9 и z = 3.
Шаг 3 : Перепишите уравнение из шага 1, подставив значение k, найденное на шаге 2.
Шаг 4 : Используйте уравнение, найденное на шаге 3, и оставшуюся информацию, указанную в задаче, чтобы ответить на заданный вопрос. В этом случае вам нужно найти z, когда y = 6 и x = 15.

Пример 2 — Если p изменяется вместе как q и r в квадрате, и p = 225, когда q = 4 и r = 3, найдите p, когда q = 6 и
r = 8.

Шаг 1 : Напишите правильное уравнение.Совместные вариационные задачи решаются с помощью уравнения y = kxz. В этом случае вы должны использовать p, q и r вместо x, y и z и заметить, как слово «в квадрате» меняет уравнение.
Шаг 2 : Используйте информацию, указанную в задаче, чтобы найти значение k. В этом случае вам нужно найти k, когда p = 225, q = 4 и r = 3.
Шаг 3 : Перепишите уравнение из шага 1, подставив значение k, найденное на шаге 2.
Шаг 4 : Используйте уравнение, найденное на шаге 3, и оставшуюся информацию, указанную в задаче, чтобы ответить на заданный вопрос. В этом случае вам нужно найти p при q = 6 и r = 8.

Нажмите здесь, чтобы узнать об ошибках

Пример 3 — Если a изменяется вместе как b в кубе и c, и a = 36, когда b = 4 и c = 6, найдите a, когда b = 2 и
с = 14.

Шаг 1 : Напишите правильное уравнение. Совместные вариационные задачи решаются с помощью уравнения y = kxz. В этом случае вы должны использовать a, b и c вместо x, y и z и заметить, как слово «в кубе» меняет уравнение.
Шаг 2 : Используйте информацию, указанную в задаче, чтобы найти значение k. В этом случае вам нужно найти k, когда a = 36, b = 4 и r = 6.
Шаг 3 : Перепишите уравнение из шага 1, подставив значение k, найденное на шаге 2.
Шаг 4 : Используйте уравнение, найденное на шаге 3, и оставшуюся информацию, указанную в задаче, чтобы ответить на заданный вопрос. В этом случае вам нужно найти a, когда b = 2 и c = 14.

Нажмите здесь, чтобы узнать об ошибках

Пример 4 — Объем конуса зависит от его высоты и квадрата радиуса. Конус радиусом 6 дюймов и высотой 10 дюймов имеет объем 120π кубических дюймов.Найдите объем конуса радиусом 15 дюймов и высотой 7 дюймов.

Шаг 1 : Напишите правильное уравнение. Совместные вариационные задачи решаются с помощью уравнения y = kxz. В этом случае вы должны использовать v, h и r вместо x, y и z и заметить, как слово «квадрат» меняет уравнение.
Шаг 2 : Используйте информацию, указанную в задаче, чтобы найти значение k. В этом случае вам нужно найти k, когда v = 120π, h = 10 и r = 6.
Шаг 3 : Перепишите уравнение из шага 1, подставив значение k, найденное на шаге 2.
Шаг 4 : Используйте уравнение, найденное на шаге 3, и оставшуюся информацию, указанную в задаче, чтобы ответить на заданный вопрос. В этом случае вам нужно найти v, когда h = 7 и r = 15.

Нажмите здесь, чтобы узнать об ошибках

Пример 5 — Кинетическая энергия изменяется вместе как масса и квадрат скорости.Масса 8 граммов и скорость 5 сантиметров в секунду имеют кинетическую энергию 100 эрг. Найдите кинетическую энергию для массы 6 граммов и скорости 9 сантиметров в секунду.

Шаг 1 : Напишите правильное уравнение. Совместные вариационные задачи решаются с помощью уравнения y = kxz. В этом случае вы должны использовать e, m и v вместо x, y и z и заметить, как слово «квадрат» меняет уравнение.
Шаг 2 : Используйте информацию, указанную в задаче, чтобы найти значение k.В этом случае вам нужно найти k, когда e = 100, m = 8 и v = 5.
Шаг 3 : Перепишите уравнение из шага 1, подставив значение k, найденное на шаге 2.
Шаг 4 : Используйте уравнение, найденное на шаге 3, и оставшуюся информацию, указанную в задаче, чтобы ответить на заданный вопрос. В этом случае вам нужно найти e, когда m = 6 и v = 9.

Нажмите здесь, чтобы узнать об ошибках

поверхностей, часть 2

Поверхности и контурные графики

Часть 2: Quadric Surfaces

Квадрические поверхности — это графики квадратных уравнений с тремя декартовыми переменными.
в космосе.Как и графики квадратиков на плоскости, их форма зависит от
знаки различных коэффициентов в их квадратных уравнениях.

Сферы и эллипсоиды

Сфера — это график
уравнение вида x ² + y ² + z ² = p ²
для какого-то реального числа р . Радиус сферы p (см.
рисунок ниже). Эллипсоиды — это графики уравнений вида ax ² + by ² + c z ² = p ²,
где a , b и c все положительны. В частности,
сфера — это особый эллипсоид, для которого a , b и c
все равны.

Постройте график x ² + y ² + z ² = 4
в вашем листе в декартовых координатах.Затем выберите разные коэффициенты
в уравнении и построить несферический эллипсоид.
Какие изгибы вы обнаружите, когда
пересечь сферу плоскостью, перпендикулярной одной из осей координат?
Что вы найдете для эллипсоида?

Параболоиды

Поверхности, пересекающиеся с
плоскости, перпендикулярные любым двум осям координат, являются параболами в тех
Самолеты называются параболоидами .Пример показан на рисунке ниже.
— это график z = x ² + y ².

Создайте свой собственный участок этой поверхности
на листе и поверните график, чтобы увидеть его с разных точек зрения.
Следуйте предложениям в таблице. Какие пересечения
поверхность с плоскостями вида z = c , для некоторой постоянной
с ?
Покажите, что пересечения
эта поверхность с плоскостями, перпендикулярными осям x- и y-
параболы.[Подсказка: установите либо y = c , либо x = c
для некоторой константы c .]
Измените уравнение на z = 3 x ² + y ²,
и заговор снова. Как меняется поверхность? В частности, что происходит с
кривые пересечения с горизонтальными плоскостями.

The
Поверхность на следующем рисунке представляет собой график z = x ² — y ².В этом случае пересечения с плоскостями, перпендикулярными к x- и
Оси y- по-прежнему являются параболами, но два набора парабол отличаются друг от друга
направление, в котором они указывают. По причинам, которые мы увидим, эта поверхность называется
гиперболический параболоид — и по понятным причинам его еще называют
«седловая поверхность».

Создайте свой собственный сюжет этого гиперболического
параболоид на листе и поверните график, чтобы увидеть его с разных точек зрения.Следуйте предложениям в таблице. Какие пересечения
поверхность с плоскостями вида z = c , для некоторой постоянной
с ? Объясните обе части имени.

Гиперболоиды

Гиперболоиды — поверхности
в трехмерном пространстве аналогично гиперболам на плоскости. Их определяющие
характерно то, что их пересечения с плоскостями, перпендикулярными любой
две из координатных осей являются гиперболами.Есть два типа гиперболоидов
— первый тип иллюстрируется графиком x ² + y ² — z ² = 1,
который показан на рисунке ниже. Как показано на рисунке справа,
эта форма очень похожа на ту, которая обычно используется на атомных электростанциях.
градирни. (Источник: EPA
Реакция на инцидент на Три-Майл-Айленд.)

Эта поверхность называется гиперболоидом .
одного листа , потому что он все «соединен» в одно целое.(Мы будем
перейдем к другому делу сейчас.)

Создайте свой собственный участок этой поверхности
на листе и поверните график, чтобы увидеть его с разных точек зрения.
Следуйте предложениям в таблице. Какие пересечения
поверхность с плоскостями вида z = c , для некоторой постоянной
с ?
Покажите, что пересечения
эта поверхность с плоскостями, перпендикулярными осям x- и y-
являются гиперболами.[Подсказка: установите либо y = c , либо x = c
для некоторой константы c .]

Другой тип — гиперболоид
двух листов , и это иллюстрируется графиком x ² — y ² — z ² = 1,
показано ниже.

Создайте свой собственный участок этой поверхности
на листе и поверните график, чтобы увидеть его с разных точек зрения.Следуйте предложениям в таблице. Какие пересечения
поверхность с плоскостями вида z = c , для некоторой постоянной
с ?
Покажите, что пересечения
эти две поверхности с соответствующими координатными плоскостями являются гиперболами.

В каждом из этих примеров пересечения
поверхности с семейством плоскостей многое говорит нам о структуре
поверхности.Мы вернемся к этой теме в Части 6,
когда мы смотрим на контурные линии.

(PDF) Диофантово уравнение x 4 + y 2 = z 4 неразрешимо в положительных целых числах, когда хотя бы одно из x, y является простым

Диофантово уравнение x4 + y2 = z4 неразрешимо в положительных целых числах, когда не менее

Один из x, y — Prime

183

3.Уравнение x4 + y2 = z4, когда либо x, либо y является простым числом

В этом разделе мы рассматриваем все возможности x4 + y2 = z4, когда x является простым числом, а y — составным числом

или наоборот. Это делается в следующей теореме 3.1.

Теорема 3.1. Предположим, что x, y — натуральные числа. Если одно из x, y простое, а другое

составное, то x4 + y2 = z4 не имеет решений.

Доказательство: Все возможности уравнения следующие:

Случай 1.x — нечетное простое число, y — составное число.

Случай 2. x = 2, y составной.

Случай 3. x — составное число, y = 2.

Случай 4. x — составное число, y — нечетное простое число.

Каждый из четырех случаев является автономным и рассматривается отдельно.

Случай 1. Предположим, что x — нечетное простое число, а y — составное число.

Из (1) имеем

x4 = z4 — y2 = (z2 — y) (z2 + y).(6)

Поскольку x простое, уравнение (6) имеет только две возможности (три другие возможности

исключены априори), а именно:

(i) z2 — y = 1, z2 + y = x4.

(ii) z2 — y = x, z2 + y = x3.

Предположим (i), т.е. z2 — y = 1 и z2 + y = x4.

Предположим, что существуют значения x, y, z, удовлетворяющие обоим уравнениям одновременно,

и придем к противоречию.

Из нашего предположения следует, что y = z2 — 1 и y = x4 — z2. Следовательно, z2 — 1 = x4 — z2 или

2z2 — x4 = 1. (7)

Для наименьшего нечетного простого числа x = 3, min z = 7 и 2z2 — x4 = 2⸱72 — 34 = 17. Это легко проверяется

для каждого простого x> 3, что min (2z2 — x4)> 17. Таким образом, уравнение (7)

никогда не существует, и полученное противоречие означает, что наше предположение неверно.Дело (i)

завершено.

Предположим (ii), т.е. z2 — y = x и z2 + y = x3.

Сложение обоих уравнений дает

2z2 = x + x3 = x (x2 + 1). (8)

Поскольку x — нечетное простое число, из (8) следует, что x | z. Обозначим z = Ax, где A — положительное целое число

, а 2z2 = 2A2x2. Но это означает, что (8) невозможно, поскольку левая часть

в (8) тогда кратна x2, тогда как правая часть (8) кратна только x

Случай (ii) не существует, а Случай 1 завершен.

Уравнение x4 + y2 = z4 не имеет решений.

Случай 2. Предположим, что x = 2, а y составное.

Из (1) имеем

24 = z4 — y2 = (z2 — y) (z2 + y). (9)

Комплексные числа Задачи с решениями и ответами

Комплексные числа важны в прикладной математике.Представлены проблемы и вопросы по комплексным числам с подробными решениями.

Свободная практика для тестов SAT, ACT
и Compass Math

Вычислите следующие выражения
a) (3 + 2i) — (8 — 5i)
b) (4 — 2i) * ( 1 — 5i)
c) (- 2 — 4i) / i
d) (- 3 + 2i) / (3 — 6i)
Если (x + yi) / i = (7 + 9i), где x и y действительны, каково значение (x + yi) (x — yi)?
Определите все комплексные числа z, которые удовлетворяют уравнению
z + 3 z ‘= 5 — 6i
, где z’ — комплексное сопряжение z.
Найдите все комплексные числа в форме z = a + bi, где a и b — действительные числа, такие что z z ‘= 25 и a + b = 7
, где z’ — комплексное сопряжение z.
Комплексное число 2 + 4i является одним из корней квадратного уравнения x ² + bx + c = 0, где b и c — действительные числа.
a) Найдите b и c
b) Запишите второй корень и проверьте его.
Найдите все комплексные числа z такие, что z ² = -1 + 2 sqrt (6) i.
Найдите все комплексные числа z такие, что (4 + 2i) z + (8 — 2i) z ‘= -2 + 10i, где z’ — комплексное сопряжение z.
Учитывая, что комплексное число z = -2 + 7i является корнем уравнения:
z ³ + 6 z ² + 61 z + 106 = 0
найдите действительный корень уравнения.
a) Покажите, что комплексное число 2i является корнем уравнения
z ⁴ + z ³ + 2 z ² + 4 z — 8 = 0
b) Найдите все корни этого уравнения уравнение.
P (z) = z ⁴ + a z ³ + b z ² + c z + d — полином, где a, b, c и d — действительные числа. Найдите a, b, c и d, если два нуля многочлена P являются следующими комплексными числами: 2 — i и 1 — i.

Решения вышеуказанных вопросов

a) -5 + 7i
b) -6 — 22i
c) -4 + 2i
d) -7/15 — 4i / 15
(x + yi) / i = (7 + 9i)
(x + yi) = i (7 + 9i) = -9 + 7i
(x + yi) (x — yi) = (-9 + 7i) (- 9 — 7i) = 81 + 49 = 130
Пусть z = a + bi, z ‘= a — bi; a и b действительные числа.
Подставляя z и z ‘в данное уравнение, получаем
a + bi + 3 * (a — bi) = 5 — 6i
a + 3a + (b — 3b) i = 5 — 6i
4a = 5 и -2b = -6
a = 5/4 и b = 3
z = 5/4 + 3i
zz ‘= (a + bi) (a — bi)
= a ² + b ² = 25
a + b = 7 дает b = 7 — a
Замените выше в уравнении a ² + b ² = 25
a ² + (7 — a) ² = 25
Решите указанную выше квадратичную функцию для a и используйте b = 7 — a, чтобы найти b.
a = 4 и b = 3 или a = 3 и b = 4
z = 4 + 3i и z = 3 + 4i обладают свойством zz ‘= 25.
a) Подставьте решение в уравнение: (2 + 4i ) ² + b (2 + 4i) + c = 0
Разверните члены в уравнении и перепишите как: (-12 + 2b + c) + (16 + 4b) i = 0
Действительная и мнимая части равны нулю.
-12 + 2b + c = 0 и 16 + 4b = 0
Решите относительно b: b = -4, подставьте и решите для c: c = 20
b) Поскольку данное уравнение имеет действительные числа, второй корень является комплексное сопряжение данного корня: 2 — 4i — второе решение.
Чек: (2 — 4i) ² — 4 (2 — 4i) + 20
(развернуть) = 4 — 16 — 16i — 8 + 16i + 20
= (4 — 16 — 8 + 20) + (- 16 + 16) i = 0
Пусть z = a + bi
Подставим в данное уравнение: (a + bi) ² = -1 + 2 sqrt (6) i
Expand: a ² — b ² + 2 ab i = — 1 + 2 sqrt (6) i
Действительная и мнимая части должны быть равны.
a ² — b ² = — 1 и 2 ab = 2 sqrt (6)
Уравнение 2 ab = 2 sqrt (6) дает: b = sqrt (6) / a
Заменитель: a ² — (sqrt (6) / a) ²) = — 1
a ⁴ — 6 = — a ²
Решите уравнение выше и выберите только действительные корни: a = sqrt (2) и a = — sqrt ( 2)
Подставьте, чтобы найти b, и запишите два комплексных числа, которые удовлетворяют заданному уравнению.
z1 = sqrt (2) + sqrt (3) i, z2 = — sqrt (2) — sqrt (3) i
Пусть z = a + bi, где a и b — действительные числа. Комплексно сопряженное z ‘записывается через a и b следующим образом: z’ = a — bi. Подставим z и z ‘в данное уравнение
(4 + 2i) (a + bi) + (8 — 2i) (a — bi) = -2 + 10i
Разложите и разделите действительную и мнимую части.
(4a — 2b + 8a — 2b) + (4b + 2a — 8b — 2a) i = -2 + 10i
Два комплексных числа равны, если их действительная и мнимая части равны.Сгруппируйте похожие термины.
12a — 4b = -2 и — 4b = 10
Решите систему неизвестных a и b, чтобы найти:
b = -5/2 и a = -1
z = -1 — (5/2) i
Поскольку z = -2 + 7i является корнем уравнения, а все коэффициенты в терминах уравнения являются действительными числами, тогда z ‘комплексное сопряжение z также является решением. Следовательно,
z ³ + 6 z ² + 61 z + 106 = (z — (-2 + 7i)) (z — (-2 — 7i)) q (z)
= (z ² + 4z + 53) q (z)
q (z) = [z ³ + 6 z ² + 61 z + 106] / [z ² + 4z + 53]
= z + 2
Z + 2 является множителем z ³ + 6 z ² + 61 z + 106 и, следовательно, z = -2 является действительным корнем данного уравнения.
a) (2i) ⁴ + (2i) ³ + 2 (2i) ² + 4 (2i) — 8
= 16 — 8i — 8 + 8i — 8 = 0
b) 2i является корнем -2i также является корнем (комплексно сопряженным, потому что все коэффициенты действительны).
z ⁴ + z ³ + 2 z ² + 4 z — 8 = (z — 2i) (z + 2i) q (z)
= (z ² + 4) q (z)
q (z) = z ² + z — 2
Два других корня уравнения являются корнями q (z): z = 1 и z = -2.
Поскольку все коэффициенты многочлена P действительны, комплексно сопряженные к данным нулям также являются нулями многочлена P.Следовательно,
P (z) = (z — (2 — i)) (z — (2 + i)) (z — (1 — i)) (z — (1 + i)) =
= z ⁴ — 6 z ³ + 15 z ² — 18 z + 10
Отсюда: a = -6, b = 15, c = -18 и d = 10.
Posts navigation
← Panasonic tz30 lumix: Panasonic LUMIX DMC-TZ30 — гибридный универсал / Фото и видео
Гелиос 44м 58 2: Обзор Гелиос-44м 58мм F2.0. HELIOS-44M 2/58, завод ‘Юпитер’, Валдай. →
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт
Рубрики
© 2024 Микро Тех Сервис

4 спиральные режущие грани [Z2+2]

РАДИОСИСТЕМА SHURE GLXD24E/B58 Z2 2.4 GHz

Вычисление тройных интегралов: теория и примеры

Вычислить тройной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

var — JavaScript | MDN

Поднятие переменных

Объявление и инициализация двух переменных

Присвоение двум переменным одного строкового значения

Инициализация нескольких переменных

Неявные глобальные переменные и внешняя область видимости

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

Калькулятор полиномиальных корней:

Попытка разложить на множители как разность квадратов:

Уравнение в конце шага 1:

Шаг 2:

Теория — Корни продукта:

Решение уравнения с одной переменной:

Решение уравнения с одной переменной:

Приложение: Решение квадратного уравнения напрямую

Решение уравнения с одной переменной:

Уравнения, которые сводятся к квадратичным:

Найдено четыре решения:

Wolfram | Alpha Примеры: Алгебра

Решение проблем вариаций суставов

поверхностей, часть 2

Поверхности и контурные графики

Часть 2: Quadric Surfaces

(PDF) Диофантово уравнение x 4 + y 2 = z 4 неразрешимо в положительных целых числах, когда хотя бы одно из x, y является простым

Комплексные числа Задачи с решениями и ответами

Добавить комментарий Отменить ответ